David Hilbert và 23 bài toán của thế kỉ XX
If I were to awaken after having slept for a thousand years, my first question would be: Has the Riemann hypothesis been proven? - David Hilbert
Tạm dịch là
Nếu tôi sống lại sau một nghìn năm nữa, câu hỏi đầu tiên của tôi sẽ là: Giả thuyết Riemann đã đựoc giải quyết chưa? - David Hilbert
David Hilbert (23 tháng 1, 1862, Wehlau, Đông Phổ – 14 tháng 2, 1943, Göttingen, Đức) là một nhà toán học người Đức, được công nhận như là một trong những nhà toán học có ảnh hưởng rộng lớn nhất của thế kỉ 19 đầu thế kỉ 20. Hilbert quan tâm đến hầu như tất cả các lĩnh vực của Toán học, lý thuyết cũng như ứng dụng. Nhưng ông chú ý nhiều đến Lý thuyết Số, Cơ sở Toán học, Lý thuyết Phương trình vi phân, Hình học. Ngoài ra ông còn quan tâm đến Vật lý-Toán, đến bài toán ba vật thể. Nhưng đặc biệt là ông đã trình bày tại Hội nghị Toán học ở Paris (1900) 23 bài toán nổi tiếng, mà theo ông là những hướng nghiên cứu Toán học lý thú cho các nhà Toán học thế giới ở thế kỷ XX. Hơn 100 năm trôi qua đã minh chứng cho ý kiến của Hilbert là đúng và một số những bài toán còn lại chưa có người giải được vẫn còn là nguồn "cảm hứng" cho các nhà Toán học thế kỷ XXI!
Nhưng Hilbert mở đầu cho sự nghiệp Toán học của đời mình bằng "Lý thuyết các bất biến" và đó cũng là nội dung Luận án của ông. Trước Hilbert,các nhà Toán học Cayley và Gordan cũng đã nhận xét rằng: trong mọi trường hợp, các bất biến là những đa thức của một số hữu hạn của chúng. Hilbert tìm cách hình thức hoá kết quả này và đưa đến một bài toán về sự hữu hạn (problème de finitude) trong các vành đa thức. Hilbert chứng tỏ rằng người ta có thể tìm được một số p các bất biến sao cho mọi bất biến là một đa thức của các bất biến nói trên.Tập các đa thức thích hợp tạo thành một idéal của vành cac đa thức có p bất định. Vấn đề còn lại là chứng tỏ rằng mọi idéal của một vành đa thức trên một trường là có dạng hữu hạn.Lý thuyết các bất biến không còn nữa và trở nên một trường hợp riêng của việc khảo sát các vành đa thức. Có lần, Hilbert chứng minh lại những kết quả mà Gordan đã làm nhưng đơn giản và hay hơn đến nỗi Gordan phải thốt lên: "Đây không còn là Toán học nữa mà là `Thần học`", có lần Gordan khoái chí: "Tôi hoàn toàn bị chinh phục rằng `Thần học` đôi lúc cũng có lợi đấy chứ", và vì vốn khâm phục Hilbert từ trước nên Gordan tiếp tục những công việc của Hilbert. Hilbert quay về Lý thuyết số. Năm 1893,ông đã đưa ra một chứng minh đơn giản rằng cơ số e của logarithe Neper và π(pi) là 2 số siêu việt (số siêu việt là số mà nó không thể là nghiệm của bất kỳ phương trình đại số nào) dù rằng trước đó nhà Toán học người Pháp Charles Hermite(1822-1901) đã chứng minh e là số siêu việt và Ferdinand Lindemann(1852-1939)người Đức đã chứng minh được đối với π(và từ kết quả này Lindemann chứng minh việc cầu phương một hình tròn là không làm được bằng thước và compas). Sau đó,Hilbert cũng chứng minh được conjecture(phỏng đoán) của Waring. Người ta còn biết ơn Hilbert về các conjectures (bài toán 7 và 9 trong 23 bài toán của Hilbert đề xướng) đã mở đường cho Takagi, Artin, và Chevalley. Hilbert còn tổng quát hoá bài toán của Dirichlet(bài toán 20).Phương pháp mà ông dùng năm 1900 đã mở đường cho một cách tiếp cận mới loại bài toán mới này, và chính Courant là một trong những ngươi biết tận dụng. Năm 1901 Hilbert quay về Lý thuyết Phương trình tích phân và quan tâm nghiên cứu đến bài toán mà Poincaré đã đặt ra (bài toán 20). Ngay ở đó người ta cũng thấy manh nha nhiều phương pháp mới. Hilbert còn chứng minh lại những kết quả của Fredholm nhờ sự trực giao hoá các hệ phương trình. Ông đã tìm cách hình thức hoá cách tiến hành và nhờ Hình học phi Euclide gợi ý, ông đã đưa ra "những dạng toàn phương" có vô số số hạng. Điều này cần cho sự hội tụ của các bình phương của các thành phần.Ông còn có sáng kiến đưa ra khái niệm về sự "đầy đủ hoá"(complétude) và để ý đến phổ các toán tử. Chính vì thế mà Schmidt và Von Neuman lấy lại ý kiến của ông để lập nên Lý thuyết về các không gian Hilbert. Trong khi thiết lập các cơ sở Toán học, Hilbert được xem như người đứng đầu phái những nhà Toán học có tư tưởng hình thức nghĩa là những nhà Toán