Học, học nữa, học mãi

CHỦ ĐỀ : CÁC BÀI TOÁN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Cho hệ phương trình:
 (D) cắt (D')

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

 (D) // (D')

Hệ phương trình vô nghiệm.

 (D)

(D')

Hệ phương trình có vô số nghiệm.
II. BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài tập 1: Cho hệ phương trình
(1)
1. Giải hệ phương trình (1) khi m = –1 .
2. Xác định giá trị của m để:
a) x = 1 và y = 1 là nghiệm của hệ (1).
b) Hệ (1) vô nghiệm.
3. Tìm nghiệm của hệ phương trình (1) theo m.
4. Tìm m để hệ (1) có nghiệm (x, y) thỏa: x + y = 1.
HD: 1. Khi m = – 1, hệ (1) có nghiệm x = 1; y = 2.
2a) Hệ (1) có nghiệm x = 1 và y = 1 khi m = 2.
2b) Hệ (1) vô nghiệm khi:

.

m = – 2: Hệ (1) vô nghiệm.
3. Hệ (1) có nghiệm: x =

;y=

4. Hệ (1) có nghiệm (x, y) thỏa: x + y = 1

.
+
=1
m +m–2=0
2

.
Vậy khi m = 1, hệ( 1 có nghiệm (x,y) thỏa: x + y = 1.
Bài tập 2: Cho hệ phương trình
1. Giải hệ (1) khi k = 1.

(1)

Học, học nữa, học mãi

2. Tìm giá trị của k để hệ (1) có nghiệm là x = – 8 và y = 7.
3. Tìm nghiệm của hệ (1) theo k.
HD: 1. Khi k = 1, hệ (1) có nghiệm x = 2; y = 1.
2. Hệ (1) có nghiệm x = –8 và y = 7 khi k = – 3 .
3. Hệ (1) có nghiệm: x =

;y=

.

Bài tập 3: Cho hệ phương trình
(1)
1. Giải hệ phương trình (1) khi m = –7 .
2. Xác định giá trị của m để:
a) x = – 1 và y = 4 là nghiệm của hệ (1).
b) Hệ (1) vô nghiệm.
3. Tìm nghiệm của hệ phương trình (1) theo m.
HD: 1. Khi m = – 7, hệ (1) có nghiệm x = 4; y = – 1.
2a) Hệ (1) có nghiệm x = –1 và y = 4 khi m =
2b) Hệ (1) vô nghiệm khi: m = – 2.
3. Hệ (1) có nghiệm: x =

;y=

Bài tập 4: Cho hệ phương trình
1. Giải hệ phương trình (1) khi m = 3 .

HD:

.

.
(1)

2. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm x =
3. Tìm nghiệm của hệ phương trình (1) theo m.

và y =

1. Khi m = 3, hệ (1) có nghiệm x =

;y=

.

2a) Hệ (1) có nghiệm x =
và y =
2b) Hệ (1) vô nghiệm khi: m = –2.

khi m =

3. Hệ (1) có nghiệm: x =

;y=

Bài tập 5 : Cho hệ phương trình
1. Giải hệ phương trình (1) khi m = –1.

.
(1)

2. Tìm m để hệ (1) có nghiệm (x; y) thỏa
.
HD: 1. Khi m = –1, hệ(1) có nghiệm: x = 13 và y = – 9.

.

.

Học, học nữa, học mãi

2. Tìm:
 Nghiệm của hệ (1) theo m: x = 12 – m ; y = m – 8 .

 Theo đề bài:

m < 8.

Bài tập 6: Cho hệ phương trình
1. Giải hệ phương trình khi m = – 1.
2. Với giá trị nào của m thì hệ pt có nghiệm (x; y) thỏa
HD: 1. Khi m = – 1 , hệ pt có nghiệm: x = 1 và y = – 4.
2. Tìm:
 Nghiệm của hệ (1) theo m: x = 4m + 5 ; y = – 9 – 5m .

 Theo đề bài:

.

–3< m < –1.

Bài tập 7: Cho hệ phương trình :

(1)

1. Giải hệ (1) khi m = 1.
2. Xác định giá trị của m để hệ (1):
a) Có nghiệm duy nhất và tìm nghiệm duy nhất đó theo m.
b) Có nghiệm (x, y) thỏa: x – y = 2.
HD:

1. Khi m = 1, hệ (1) có nghiệm: x = – 2 ; y = 1.

2a) Khi m

0, hệ (1) có nghiệm:
2b) m =

.

.

Bài tập 8 : Cho hệ phương trình :
( m là tham số) (I).
a) Khi m = – 2, giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng.
b) Tính giá trị của tham số m để hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất và tính
nghiệm duy nhất đó theo m.
HD:

a) Khi m = – 2, hệ (I) có nghiệm: x =
b)

;y=

.

Học, học nữa, học mãi

 Hệ (I) có nghiệm duy nhất khi m
 Khi đó hệ(I) có nghiệm duy nhất:

4.

;

CHỦ ĐỀ : VẼ ĐỒ THỊ & TÌM TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM
CỦA (P): y = ax2 VÀ (D): y = ax + b (a 0)
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
2
1.Hàm số y = ax (a 0):
Hàm số y = ax2(a 0) có những tính chất sau:
 Nếu a > 0 thì hàm số đồng biến khi x > 0 và nghịch biến khi x < 0.
 Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0.
Đồ thị của hàm số y = ax2(a 0):
 Là một Parabol (P) với đỉnh là gốc tọa độ 0 và nhận trục Oy làm trục đối xứng.
 Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành. 0 là điểm thấp nhất của đồ thị.
 Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành. 0 là điểm cao nhất của đồ thị.
Vẽ đồ thị của hàm số y = ax2 (a 0):
 Lập bảng các giá trị tương ứng của (P).
 Dựa và bảng giá trị
vẽ (P).
2. Tìm giao điểm của hai đồ thị :(P): y = ax2(a 0) và (D): y = ax + b:
 Lập phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (D): cho 2 vế phải của 2 hàm
số bằng nhau
đưa về pt bậc hai dạng ax2 + bx + c = 0.
 Giải pt hoành độ giao điểm:
+ Nếu > 0
pt có 2 nghiệm phân biệt (D) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
+ Nếu = 0
pt có nghiệm kép
(D) và (P) tiếp xúc nhau.
+ Nếu < 0
pt vô nghiệm (D) và (P) không giao nhau.
3. Xác định số giao điểm của hai đồ thị :(P): y = ax2(a 0) và (Dm) theo tham số m:
 Lập phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (D m): cho 2 vế phải của 2 hàm
số bằng nhau
đưa về pt bậc hai dạng ax2 + bx + c = 0.
 Lập (hoặc ) của pt hoành độ giao điểm.
 Biện luận:
+ (Dm) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt khi > 0 giải bất pt
tìm m.
+ (Dm) tiếp xúc (P) tại 1 điểm = 0 giải pt
tìm m.
+ (Dm) và (P) không giao nhau khi < 0 giải bất pt
tìm m.
II. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài tập 1: Cho hai hàm số y = có đồ thị (P) và y = -x + m có đồ thị (Dm).
1. Với m = 4, vẽ (P) và (D4) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc Oxy. Xác định
tọa độ các giao điểm của chúng.
2. Xác định giá trị của m để:
a) (Dm) cắt (P) tại điểm có hoành độ bằng 1.

Học, học nữa, học mãi

b) (Dm) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
c) (Dm) tiếp xúc (P). Xác định tọa độ tiếp điểm.
HD: 1. Tọa độ giao điểm: (2 ; 2) và (– 4 ; 8).
2a). m =
2b)

.

= 1 + 2m > 0

.

2c) m =
tọa độ tiếp điểm (-1 ; ).
Bài tập 2: Cho hai hàm số y = – 2x2 có đồ thị (P) và y = – 3x + m có đồ thị (Dm).
1. Khi m = 1, vẽ (P) và (D1) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc Oxy. Xác định
tọa độ các giao điểm của chúng.
2. Xác định giá trị của m để:
a) (Dm) đi qua một điểm trên (P) tại điểm có hoành độ bằng
b) (Dm) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
c) (Dm) tiếp xúc (P). Xác định tọa độ tiếp điểm.
HD: 1. Tọa độ giao điểm: (
2a). m = – 2.
2b) m <

.

;) và (1 ; – 2).

.

2c) m =
tọa độ tiếp điểm (
).
2
Bài tập 3: Cho hàm số y = – 2x có đồ thị (P).
1. Vẽ (P) trên một hệ trục tọa độ vuông góc..
2. Gọi A(
) và B(2; 1).
a) Viết phương trình đường thẳng AB.
b) Xác định tọa độ các giao điểm của đường thẳng AB và (P).
3. Tìm điểm trên (P) có tổng hoành độ và tung độ của nó bằng – 6.
HD: 2a). Đường thẳng AB có phương trình y = = 3x – 5.
2b). Tọa độ giao điểm: (1;– 2) và ( ;
).
3. Gọi M(xM; yM) là điểm trên (P) thỏa đề bài, ta có: xM + yM = – 6.
Mặt khác: M(xM; yM) (P)

yM = – 2

nên: xM + yM = – 6

–2

+ xM + 6 = 0

xM + (– 2

) =–6

.

Học, học nữa, học mãi

Vậy có 2 điểm thỏa đề bài: M1(2; – 8 ) và M2(

).

Bài tập 4: Cho hàm số y =
x2 có đồ thị (P) và y = – 2x + có đồ thị (D).
1. Vẽ (P) và (D) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc.
2. Xác định tọa độ các giao điểm của (P) và (D).
3. Tìm tọa độ những điểm trên (P) thỏa tính chất tổng hoành độ và tung độ của điểm
đó bằng – 4.
HD: 2. Tọa độ giao điểm: ( ;
) và (1 ;
).
3. Gọi M(xM; yM) là điểm trên (P) thỏa đề bài, ta có: xM + yM = – 4.
Mặt khác: M(xM; yM) (P)

yM =

nên: xM + yM = – 4

xM +(

) =–

4

+ xM + 4 = 0
Vậy có 2 điểm thỏa đề bài: M1(

.

) và M2(2; – 6).

Bài tập 5: Cho hàm số y = x2 có đồ thị (P) và y = x + có đồ thị (D).
1. Vẽ (P) và (D) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc.
2. Xác định tọa độ các giao điểm của (P) và (D).
3. Gọi A là điểm (P) và B là điểm
A và B.
HD: 2. Tọa độ giao điểm: (
3. Đặt xA = xB = t.

) và (

 A(xA; yA) (P)

yA =

 B(xB; yB) (D)

yB = xB +

 Theo đề bài:

 Với t = 2

(D) sao cho

. Xác định tọa độ của

).

=

t2.
=t+

11. t2 = 8.( t +

.

)

.

Học, học nữa, học mãi

 Với t =
.
Bài tập 6: Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy, cho hai điểm A(1; –2) và B(–2; 3).
1. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A, B.
2. Gọi (P) là đồ thị của hàm số y = –2x2.
a) Vẽ (P) trên mặt phẳng tọa độ đã cho.
b) Xác định tọa độ các giao điểm của (P) và (d).
HD: 1. Phương trình đường thẳng AB: y =

x

.

2. Tọa độ giao điểm: (1; –2) và ( ;
).
2
Bài tập 7: Vẽ đồ thị (P) của hàm số y = –2x trên mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy.
1. Gọi (D) là đường thẳng đi qua điểm A(–2; –1) và có hệ số góc k.
a) Viết phương trình đường thẳng (D).
b) Tìm k để (D) đi qua B nằm trên (P) biết hoành độ của B là 1.
HD: 2a).
 Phương trình đường thẳng (D) có dạng tổng quát: y = ax + b.
 (D) có hệ số góc k (D): y = kx + b.
 (D) đi qua A(–2; –1) –1 = k.( –2) + b
b = 2k – 1.
 Phương trình đường thẳng (D): y = kx + 2 k – 1.
2b)
 Điểm B(xB; yB) (P) B(1; – 2).
 (D) đi qua B(1; –2) nên: –2 = k.1 +2k – 1
k=
.
2
Bài tập 8: Cho hai hàm số y = x có đồ thị (P) và y = x + 2 có đồ thị (D).
1. Vẽ (P) và(D) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc Oxy. Xác định tọa độ các
giao điểm của chúng.
2. Gọi A là điểm thuộc (D) có hoành độ bằng 5 và B là điểm thuộc (P) có hoành độ
bằng – 2. Xác định tọa độ của A, B.
3. Tìm tọa độ của điểm I nằm trên trục tung sao cho: IA + IB nhỏ nhất.
HD: 1. Tọa độ giao điểm: (2; 4) và (–1; 1).
2. Tọa độ của A(5; 7) và B(– 2 ; 4)
3.
 I(xI, yI) Oy
I(0: yI).
 IA + IB nhỏ nhất khi ba điểm I, A, B thẳng hàng.
 Phương trình đường thẳng AB: y =
 I(xI, yI)

đường thẳng AB nên: yI =

x+
.0 +

.
=

I(0;

)

Học, học nữa, học mãi

Bài tập 9: Cho hàm số y = – x2 có đồ thị (P) và y = x – 2 có đồ thị (D).
a) Vẽ (P) và(D) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc. Xác định tọa độ giao điểm
của (P) và (D) bằng phương pháp đại số.
b) Gọi A là một điểm thuộc (D) có tung độ bằng 1 và B là một điểm thuộc (P) có
hoành độ bằng – 1. Xác định tọa độ của A và B.
c) Tìm tọa độ của điểm M thuộc trục hoành sao cho MA + MB nhỏ nhất.
HD: a) Tọa độ giao điểm: (2; – 4) và (–1; 1).
b) Tọa độ của A(3; 1) và B(– 1 ; – 1).
c)
 yA = 1 > 0, yB = – 1 < 0
A, B nằm khác phía đối với trục Ox do đó MA +
MB nhỏ nhất khi M, A, B thẳng hàng
M là giao điểm của AB với truc Ox.
 Đường thẳng AB có dạng: y = ax + b. Đường thẳng AB đi qua hai điểm A, B

Đường thẳng AB: y =

x –

.

 Tọa độ M là nghiệm của hệ pt:
.
 Vậy: M(1; 0).
Bài tập 10: Cho (P): y = x2 và (D): y = – x + 2.
1. Vẽ (P) và (D) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc Oxy. Gọi A và B là các giao
điểm của (P) và (D), xác định tọa độ của A, B.
2. Tính diện tích tam giác AOB (đơn vị đo trên trục số là cm).
3. CMR: Tam giác AOB là tam giác vuông.
HD: 1. Tọa độ giao điểm: (1; 1)và (– 2; 4).
2. Gọi H, K là hình chiếu của A, B trên trục Ox, ta có:


OHA vuông tại H

SOHA =

OH.OA =

.1. 1 =

(cm2).


OKB vuông tại K
SOKB =
OK.KB = .2. 4 = 4 (cm2).
 Gọi I là giao điểm của (D) với trục Ox
yI = 0 xI = 2
I(2; 0).


IKB vuông tại K

SIKB =

BK.KI =

 SOAB = SIKB – (SOHA + SOKB ) = 8 – (

.4. 4 = 8 (cm2).

+ 4) = 3,5 (cm2).

3.
 Phương trình đường thẳng OA: y = a'x (D').
 (D') đi qua A(1; 1)
a=1
(D'): y = x.
 (D) có a = – 1 và (D') có a' = 1
a. a' = – 1

(D)

(D')

Học, học nữa, học mãi

OA AB
OAB vuông tại A.
-------------------------------------------------------------------------------------------CHỦ ĐỀ : CÁC BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Giải phương trình bậc hai dạng ax2 + bx + c = 0 (a 0) (1)
a) Nhẩm nghiệm:

 a + b +c = 0

pt (1) có 2 nghiệm:

 a – b +c = 0
b) Giải với :

pt (1) có 2 nghiệm:

Nếu b = 2b'
 Nếu

b' =
> 0

.

.

= (b')2 – ac.
phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

 Nếu = 0
phương trình có nghiệm kép:
 Nếu < 0
phương trình vô nghiệm.
c) Giải với :
Tính : = b2 – 4ac.
 Nếu

> 0

;
.

phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

;

 Nếu = 0
phương trình có nghiệm kép:
.
 Nếu < 0
phương trình vô nghiệm.
2. Hệ thức Vi ét và ứng dụng:
a) Định lý: Nếu x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0) thì ta có:

.
b) Định lý đảo: Nếu
u, v là 2 nghiệm của phương trình x2 – Sx + P = 0 (ĐK: S2 – 4P
* Một số hệ thức khi áp dụng hệ thức Vi-ét:
 Tổng bình phương các nghiệm:
 Tổng nghịch đảo các nghiệm:

0).
= S2 – 2P.

.

Học, học nữa, học mãi

 Tổng nghịch đảo bình phương các nghiệm:

.

 Bình phương của hiệu các nghiệm:

= S2 – 4P.

 Tổng lập phương các nghiệm:
= S3 – 3PS
Ví dụ: Cho phương trình x2 – 12x + 35 = 0. Hãy tính giá trị của các biểu thức sau:
a)
.
b)
.
Giải:
Phương trình có
= 1 > 0

c)

d)

pt có 2 nghiệm, áp dụng hệ thức Vi-ét cho pt (1):

.
a)
b)
c)

= S2 – 2P = 122 – 2.35 = 74.
=

.
= 122 – 4.35 = 4.

d)
= S3 – 3PS = 123 – 3.35.12 = 468.
3.Tìm hệ thức giữa hai nghiệm độc lập đối với tham số:(Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm
x1, x2 không phụ thuộc vào tham số).
* Phương pháp giải:
 Tìm điều kiện để phương trình đã cho có nghiệm (

;

hoặc a.c < 0).

 Lập hệ thức Vi-ét cho phương trình
.
 Khử tham số (bằng phương pháp cộng đại số) tìm hệ thức liên hệ giữa S và P
Đó là hệ thức độc lập với tham số.
Ví dụ: Cho phương trình 2x2 + (2m – 1)x + m – 1 = 0 (1) (m là tham số).
1. CMR: Phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m.
2. Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của pt (1). Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm không phụ
thuộc vào m.
Giải:
1. Phương trình (1) có = b2 – 4ac = + (2m – 1)2 – 4.2.(m – 1) = 4m2 – 12m + 9 =
(2m – 3)2 0, m.
Vậy phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m.
2.

Học, học nữa, học mãi

 Áp dụng hệ thức Vi-ét cho phương trình (1):

2S + 4P = -1. Hay: 2(x1 + x2) + 4x1x2 = -1 : Đây là hệ thức cần tìm.
4. Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng – Lập phương trình bâc hai khi biết hai
nghiệm của nó:
* Phương pháp giải:
 Nếu 2 số u và v c ó:
P = 0 (*).
 Giải pt (*):
+ Nếu

> 0 (hoặc

hoặc

u, v là hai nghiệm của phương trình: x2 – Sx +

> 0)

pt (*) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2. Vậy

= 0)

pt (*) có nghiệm kép x1 = x2 =

.

+ Nếu

= 0 (hoặc

. Vậy u = v =

.
+ Nếu < 0 (hoặc < 0)
pt (*) vô nghiệm. Vậy không có 2 số u, v thỏa đề
bài.
Ví dụ 1: Tìm 2 số u,v biết u + v = 11 và u.v = 28
Giải:
Theo đề bài

u, v là hai nghiệm của phương trình: x 2 – Sx + P = 0

x2 – 11x + 28

= 0(*)
Phương trình (*) có
Vậy:

.

hay

Ví dụ 2: Cho hai số a =
và b.
Giải:
 a+b=(
 a.b = (

=9>0

+1 và b = 3 –

+1) + (3 –
+1). (3 –

. Viết phương trình bậc hai có hai nghiệm là a

) = 4.
)=2

.

Học, học nữa, học mãi

Suy ra: a, b là 2 nghiệm của phương trình: x 2 – Sx + P = 0
x2 – 4x + 2
= 0: Đây
là pt cần tìm.
5. Chứng minh phương trình bậc hai luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của
tham số m:
* Phương pháp giải:
 Lập biệt thức (hoặc ).
 Biến đổi
đưa về dạng : = (A B)2 + c > 0, m (với c là một số dương)
 Kết luận: Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi tham
số m.
6. Chứng minh phương trình bậc hai luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m:
* Phương pháp giải:
 Lập biệt thức (hoặc ).
 Biến đổi
đưa về dạng : = (A B)2 0, m.
 Kết luận: Vậy phương trình đã cho luôn nghiệm với mọi tham số m.
7. Biện luận phương trình bậc hai theo tham số m:
* Phương pháp giải:
 Lập biệt thức (hoặc ).
 Biện luận:
+ Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi:
>0
giải bất pt
tìm tham số
m
kết luận.
+ Phương trình có nghiệm kép khi = 0
giải pt
tìm tham số m
kết
luận.
+ Phương trình vô nghiệm khi < 0
giải bất pt
tìm tham số m
kết
luận.
+ Phương trình có nghiệm khi
0
giải bất pt
tìm tham số m
kết
luận.
* Phương trình có 2 nghiệm trái dấu khi: a.c < 0
giải bất pt
tìm tham số m
kết luận.
8. Xác định giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
* Phương pháp giải:
 Đưa biểu thức P cần tìm về dạng: P = (A B)2 + c
P = (A B)2 + c c.
 Giá trị nhỏ nhất của P: Pmin = c khi A B = 0
giải pt
tìm tham số m
kết luận.
9. Xác định giá trị lớn nhất của biểu thức:
* Phương pháp giải:
 Đưa biểu thức Q cần tìm về dạng: Q = c – (A B)2
Q = c – (A B)2 c
Giá trị nhỏ nhất của Q: Qmax = c khi A B = 0
giải pt
tìm tham số m
kết luận.
II. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài tập 1: Cho phương trình bậc hai x2 – (m – 3)x – 2m = 0 (1).
1. Giải phương trình (1) khi m = – 2.

Học, học nữa, học mãi

2. CMR: Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
3. Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m.
HD: 1. Khi m = –2, ta có phương trình: x2 + 5x + 4 = 0, pt có a – b + c = 1 –5 + 4 = 0

Vậy khi m = – 2, phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt: x1 = –1, x2 = – 4.
2. = m2 + 2m + 9 = (m + 1)2 + 8 > 0,
.
3. Hệ thức: 2S + P = – 6
2(x1 + x2) + x1x2 = – 6.
Bài tập 2: Cho phương trình bậc hai x2 – (m + 1)x + m = 0 (1).
1. Giải phương trình (1) khi m = 3.
2. CMR: Phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m.
3. Trong trường hợp (1) có hai nghiệm phân biệt.Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2
không phụ thuộc vào m.
HD: 1. Khi m = 3, ta có phương trình: x2 – 4x + 3 = 0, pt có a + b + c = 1 +(–4) + 3 = 0

.
Vậy khi m = 3, phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt: x1 = 1, x2 = 3.
2. = (m – 1)2 0,
.
3.

 ĐK để pt (1) có 2 nghiệm phân biệt: (m – 1)2 > 0 |m – 1| > 0
.
 Hệ thức: S – P = 1
x1 + x2 – x1x2 = 1.
2
Bài tập 3 : Cho phương trình 2x + (2m – 1)x + m – 1 = 0 (m là tham số) (1)
1. Giải phương trình (1) khi m = 2.
2. CMR: Phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m.
3. Trong trường hợp (1) có hai nghiệm phân biệt.Thiết lập hệ thức liên hệ giữa x 1, x2
độc lập với m.
HD: 1. Khi m = 2, phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt: x1 = –1, x2 =
2. = (2m – 3)2 0,
.
3.

.

 ĐK để pt (1) có 2 nghiệm phân biệt: (2m – 3)2 > 0 |2m – 3| > 0
 Hệ thức: 2S + 4P = 1
2( x1 + x2) + 4 x1x2 = 1.
2
Bài tập 4 : Cho phương trình x – 2(m – 1)x + 2m – 3 = 0 (m là tham số) (1)
1. Giải phương trình (1) khi m = 5.
2. CMR: Phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m.

.

Học, học nữa, học mãi

3. Trong trường hợp (1) có hai nghiệm phân biệt.Thiết lập hệ thức liên hệ giữa x 1, x2
độc lập với m.
4. Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu.
HD: 1. Khi m = 5, phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt: x1 = 1, x2 = 7.
2. = (m – 2)2 0,
.
3.

 ĐK để pt (1) có 2 nghiệm phân biệt: (m – 2)2 > 0
 Hệ thức: S – P = 1
x1 + x2 – x1x2 = 1.

|m – 2| > 0

.

4. Phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu khi a.c < 0 1.(2m – 3) < 0
m<
2
2
Bài tập 5 : Cho phương trình bậc hai x –2(m – 1)x + m = 0 (1).
1. Tìm m để:
a) Pt (1) có 2 nghiệm phân biệt.
b) Pt (1) có một nghiệm là – 2.
2. Giả sử x1, x2 là 2 nghiệm của pt (1). CMR: (x1 – x2)2 + 4(x1 + x2) + 4 = 0.
HD: 1a.
 Phương trình (1) có = 1 – 2m.

 Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi > 0 1 – 2m > 0 m < .
1b. Pt (1) có một nghiệm là – 2 khi: (– 2)2 –2(m – 1)(–2) + m2 = 0 m2 + 4m = 0
.
Vậy khi m = 0 hoặc m = – 4 thì pt (1) có một nghiệm là – 2.
2. Áp dụng hệ thức Vi-ét cho pt (1):
Ta có: (x1 – x2)2 + 4(x1 + x2) + 4 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 + 4(x1 + x2) + 4
= (2m – 2)2 – 4m2 + 4(2m – 2) + 4
= 4m2 – 8m + 4 – 4m2 + 8m – 8 + 4 = 0 (đpcm).
Bài tập 6 :
Cho phương trình bậc hai x2 –2(m + 1)x + m – 4 = 0 (1).
1. Giải phương trình (1) khi m = –2.
2. CMR:
, phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt
3. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của pt (1). Chứng minh biểu thức:
A = x1(1 – x2) + x2(1 – x1) không phụ thuộc vào m.
HD: 1. Khi m = –2
2.

x1 =

= m2 + m + 5 =

; x2 =
> 0,

.
.

Học, học nữa, học mãi

3. Áp dụng hệ thức Vi-ét cho pt (1):
Theo đề bài: A = x1(1 – x2) + x2(1 – x1) = x1 – x1x2 + x2 – x1x2 = (x1 + x2) – 2x1x2
= (2m + 2) – 2(m – 4) = 10.
Vậy A = 10 không phụ thuộc vào m.
Bài tập 7: Cho phương trình bậc hai x2 –2(m + 1)x + (2m – 4) = 0 (1).
1. Giải phương trình (1) khi m = – 2.
2. CMR: Với mọi m, phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.
3. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của (1). Tính A =
theo m.
4. Tìm giá trị của m để A đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài tập 8: Cho phương trình bậc hai x2 – (m – 1)x + 2m – 7 = 0 (1).
1. Giải phương trình (1) khi m = –1.
2. CMR: Với mọi m, phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.
3. Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu.
4. Thiết lập mối quan hệ giữa 2 nghiệm x1, x2 không phụ thuộc và m.
5. Tìm m để

= 10.

HD: 1. Khi m = –1 x1 =
; x2 =
2. = m2 – 10m + 29 = (m – 5)2 + 4 > 0,

.
.

3. Phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu khi a.c < 0 1.(2m – 7) < 0
4. Hệ thức cần tìm: 2S – P =5 2(x1 +x2) – x1x2 = 5.
5.
= 10 m2 – 6m + 5 = 0
m = 1 hoặc m = 5.
2
Bài tập 9: Cho phương trình bậc hai x + 2x + 4m + 1 = 0 (1).
1. Giải phương trình (1) khi m = –1.
2. Tìm m để:
a) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
b) Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu.
c) Tổng bình phương các nghiệm của pt (1) bằng 11.
HD: 1. Khi m = –1 x1 = 1 ; x2 = –3 .
2a. Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi = –4m > 0
2b. Phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu khi a.c < 0
2c. Tổng các bình phương hai nghiệm của pt (1) bằng 11
– 2x1x2 = 11

m<

.

m < 0.

1.(4m + 1) < 0

m<

= 11

2 – 8m = 11 m =
.
2
Bài tập 10: Cho phương trình: x – 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 (m là tham số)
a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm kép và tính nghiệm kép đó.

(1).

.

(x1 + x2)2

Học, học nữa, học mãi

b) Trong trường hợp phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x 1, x2 hãy tìm hệ thức
liên hệ giữa các nghiệm x1, x2 mà không phụ thuộc m.
HD: a)
a. Phương trình (1) có nghiệm kép

=0

b. Khi
pt (1) có nghiệm kép x1 = x2 =
c. Khi m = 3
x1 = x2 = 4.
d. Khi m = – 3
x1 = x2 = – 2 .
b)

m2 – 9 = 0

.

= m + 1.

 Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 khi

>0

m2 – 9 > 0

.
 Hệ thức: S – P = – 8 x1 + x2 – x1x1 = – 8 hay: x1x1 – (x1 + x2) = 8.
---------------------------------------------------------------------------------------CHỦ ĐỀ: GIẢI BÀI TOÁN
BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH – LẬP PHƯƠNG TRÌNH
I. KIEÁN THÖÙC CAÀN NHÔÙ
Các bước giải:
1. Lập phương trình ( hoặc hệ phương trình):
 Chọn ẩn số và xác định điều kiện thích hợp cho ẩn;
 Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và qua các đại lượng đã biết ;
 Lập phương trình ( hoặc hệ phương trình) biểu thị mối quan hệ giữa các đại
lượng
2. Giải phương trình ( hoặc hệ phương trình) vừa lập được.
3. Trả lời: Chỉ nhận nghiệm thỏa ĐK và trả lời yêu cầu của bài.
II. BAØI TAÄP VAÄN DUÏNG
Bài tập1: Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình: Tìm số tự nhiên có hai chữ số,
biết rằng chữ số hàng chục lớn hớn chữ số hàng đơn vị là 2 và nếu viết thêm chữ số bằng chữ
số hàng chục vào bên phải thì được một số lớn hơn số ban đầu là 682.
HD:
 Gọi x là chữ số hàng chục (x N, 0 < x 9).
 Gọi y là chữ số hàng đơn vị (y N, x 9)

 Số cần tìm có dạng = 10x + y
 Vì chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 2 nên ta có pt: x – y = 2 (1)
 Khi thêm chữ số bằng chữ số hàng chục vào bên phải thì được số mới:
=100x
+10y + x = 101x +10y
 Vì số mới lớn hơn số ban đầu là 682 nên ta có phương trình:
(101x + 10y) – (10x + y) = 682
91x + 9y = 682 (2).

Học, học nữa, học mãi

 Từ (1) và (2) ta có hệ pt:
 Giải hệ pt ta được
(thỏa ĐK) số cần tìm là 75.
Bài tập 2: Có hai số tự nhiên, biết rằng: tổng của hai số bằng 59; hai lần số này bé hơn ba
lần số kia là 7. Tìm hai số đó.
HD:
 Gọi x, y là hai số cần tìm (x, y N)
 Theo đề bài ta có hệ pt:
 Giải hệ ta được:
(thỏa ĐK)
hai số cần tìm là 34 và 25.
Bài tập 3: Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình: Cho một số tự nhiên có hai chữ số.
Tổng của hai chữ số của nó bằng 10; tích hai chữ số ấy nhỏ hơn số đã cho là 12. Tìm số đã
cho.
HD:
 Gọi x là chữ số hàng chục của số đã cho (x N, 0 < x 9)
 Chữ số hàng đơn vị: 10 – x
 Số đã cho có dạng: 10.x + (10 – x) = 9x + 10
 Tích của hai chữ số ấy: x(10 – x)
 Theo đề bài ta có phương trình: (9x + 10) – x(10 – x)= 12
x2 – 2 = 0
 Giải pt trên ta được: x1 = –1( loại); x2 = 2 (nhận)
 Vậy số cần tìm là 28.
Bài tập 4: Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình: Một hình chữ nhật có chu vi là
280m. Nếu giảm chiều dài của hình chữ nhật 2m và tăng chiều rộng thêm 3m thì diện tích
của nó tăng thêm 144m2. Tính các kích thước của hình chữ nhật.
HD:






Nửa chu vi hình chữ nhật:
= 140 (m).
Gọi x (m) là chiều dài của hình chữ nhật (0 < x < 140).
Chiều rộng của hình chữ nhật là 140 – x (m).
Diện tích ban đầu của hình chữ nhật là x(140 – x) (m2).
Khi giảm chiều dài của hình chữ nhật 2m và tăng chiều rộng thêm 3m thì hình chữ
nhật mới có diện tích: (x – 2)[(140 – x) + 3] = (x – 2)(143 – x) (m2)
 Vì diện tích hình chữ nhật tăng thêm 144m2 nên ta có phương trình:
(x – 2)(143 – x) – x(140 – x) = 144
5x = 430
x = 86 (thỏa ĐK)
 Vậy hình chữ nhật có chiều dài 86m và chiều rộng là: 140 – x = 140 – 86 = 54 (m).

Học, học nữa, học mãi

Bài tập 5: Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình: Một khu vườn hình chữ nhật có chu
vi là 320m. Nếu chiều dài của khu vườn tăng 10m và chiều rộng giảm 5m thì diện tích của
nó tăng thêm 50m2. Tính diện tích của khu vườn ban đầu.
HD:
 Chiều dài là 100m và chiều rộng là 60m.
 Diện tích khu vườn: 6 000 m2.
Bài tập 6: Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình: Một hình chữ nhật có chu vi 160cm
và có diện tích 1500m2. Tính các kich thước của nó.
HD:

 Nửa chu vi hình chữ nhật:
= 80 (m).
 Gọi x (m) là một kích thước của hình chữ nhật (0 < x < 80).
 Kích thước còn lại của hình chữ nhật là 80 – x (m).
 Diện tích của hình chữ nhật là x(80 – x) (m2).
 Vì diện tích hình chữ nhật là 1500m2 nên ta có phương trình:
x(80 – x) = 1500
x2 – 80x + 1500 = 0
 Giải pt trên ta được: x1 = 30 (nhận); x2 = 50 (nhận).
 Vậy hình chữ nhật có các kích thước là 30m và 50m.
Bài tập 7: Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình: Một sân trường hình chữ nhật có
chu vi là 340m. Ba lần chiều dài hơn 4 lần chiều rộng là 20m. Tính diện tích của sân trường.
HD:
 Gọi x, y (m) lần lượt là chiều dài và chiều rộng sân trường ( 0 < x, y < 170)
 Vì sân trường có chu vi 340m nên ta có phương trình: 2(x + y) = 340
x + y = 170
(1).
 Vì ba lần chiều dài hơn 4 lần chiều rộng là 20m nên ta có pt: 3x – 4y = 20 (2).
 Từ (1) và (2) ta có hệ pt:
 Giải hệ pt ta được
(thỏa ĐK).
Bài tập 8: Cho một tam giác vuông. Nếu tăng các cạnh góc vuông lên 4cm và 5cm thì diện
tích tam giác sẽ tăng thêm 110cm 2. Nếu giảm cả hai cạnh này đi 5cm thì diện tích sẽ giảm đi
100cm2. Tình hai cạnh góc vuông của tam giác.
HD:
 Gọi x (cm), y (cm) là độ dài hai cạnh góc vuông (x > 5, y > 5).
 Theo đề bài ta có hệ pt:
 Giải hệ pt ta được
(thỏa ĐK).
 Vậy độ dài hai cạnh góc vuông là 20cm và 25cm.

Học, học nữa, học mãi

Bài tập 9: Cho tam giác vuông có cạnh huyền bằng 5cm, diện tích bằng 6cm2. Tìm độ dài
các cạnh góc vuông.
HD:
 Gọi x (cm), y (cm) là độ dài hai cạnh góc vuông (0 < x, y < 5).
 Vì tam giác có cạnh huyền 5cm nên ta có pt: x2 + y2 = 25 (1).

 Vì tam giác có diện tích 6cm2 nên ta có pt:

xy = 6

xy = 12 (2).

 Từ (1) và (2) ta có hệ pt:
( vì x, y > 0)

 Giải hệ pt ta được
hoặc
(thỏa ĐK).
 Vậy độ dài hai cạnh góc vuông là 3cm và 4cm.
Bài tập 10:
Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình: Hai vòi nước cùng chảy
vào một cái bể không có nước trong 4 giờ 48 phút sẽ đầy bể. Nếu mở vòi thứ nhất trong 3
giờ và vòi thứ hai trong 4 giờ thì được bể nước. Hỏi mỗi vòi chảy một mình trong bao lâu
thì mới đầy bể?
HD:
 Gọi x (h), y (h) lần lượt là thời gian vòi 1, vòi 2 chảy riêng đầy bể ( x > 3, y > 4).

 Trong 1h, vòi 1 chảy được:

(bể).

 Trong 1h, vòi 2 chảy được:

(bể).

 Vì hai vòi nước cùng chảy trong 4 giờ 48 phút =
cùng chảy được
bể, do đó ta có pt:

+

=

h sẽ đầy bể nên trong 1h hai vòi

(1).

 Vì vòi thứ nhất trong 3 giờ và vòi thứ hai trong 4 giờ thì được
+

=

(2).

 Từ (1) và (2) ta có hệ pt:

(I)

bể nước nên ta có pt:

Học, học nữa, học mãi

 Đặt u =

,v=

, hệ (I) trở thành:

(II).

 Giải hệ (II), ta được:
(thỏa ĐK).
 Vậy: Vòi 1 chảy riêng đầy bể trong 12h, vòi 2 chảy riêng đầy bể trong 8h.
Bài tập11: Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình: Hai vòi nước cùng chảy vào
một cái bể không có nước trong 1 giờ 20 phút thì đầy bể. Nếu để vòi thứ nhất chảy một
mình trong 10 phút và vòi thứ hai chảy một mình trong 12 phút thì chỉ được
thể tích của
bể nước. Hỏi mỗi vòi chảy một mình trong bao lâu sẽ đầy bể?
HD: Vòi 1 chảy riêng đầy bể trong 120 phút = 2h, vòi 2 chảy riêng đầy bể trong 240 phút =
4h.
Bài tập 12: Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình: Hai vòi nước cùng chảy vào
một cái bể cạn (không có nước) thì sau

giờ đầy bể. Nếu lúc đầu chỉ mở vòi thứ nhất và 9

giờ sau mới mở thêm vòi thứ hai thì sau giờ nữa mới bể nước. Hỏi nếu ngay từ đầu chỉ
mở vòi thứ hai thì sau bao lâu mới đầy bể?
HD:

 Gọi x (h), y (h) lần lượt là thời gian vòi 1, vòi 2 chảy riêng đầy bể ( x > 9, y >
 Trong 1h, vòi 1 chảy được:

(bể).

 Trong 1h, vòi 2 chảy được:

(bể).

 Vì hai vòi nước cùng chảy trong
chảy được
do đó ta có pt:

giờ =

).

h sẽ đầy bể nên trong 1h hai vòi cùng

bể,
+

=

(1).

 Vì lúc đầu chỉ mở vòi thứ nhất và 9 giờ sau mới mở thêm vòi thứ hai thì sau
nữa mới bể nước nên ta có pt:

+

= 1 (2).

giờ

Học, học nữa, học mãi

 Từ (1) và (2) ta có hệ pt:

 Đặt u =

,v=

(I)

, hệ (I) trở thành:

(II).

 Giải hệ (II), ta được:
(thỏa ĐK).
 Vậy: Vòi 2 chảy riêng đầy bể trong 8h.
Bài tập13: Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình: Hai vòi nước cùng chảy vào một
bể cạn chưa có nước thì sau 18 giờ đầy bể. Nếu chảy riêng thì vòi thứ nhất sẽ chảy đầy bể
chậm hơn vòi thứ hai 27 giờ. Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi mất bao lâu mới chảy đầy bể?
HD:
 Gọi x (h) là thời gian vòi thứ nhất chảy riêng đầy bể (x > 27).
 Thời gian vòi thứ hai chảy riêng đầy bể: x – 27 (h).
 Mỗi giờ vòi thứ nhất chảy được
 Mỗi giờ vòi thứ hai chảy được

(bể).
(bể).

 Vì hai vòi cùng chảy thì sau 18 h bể đầy, nên trong 1h hai vòi cùng chảy được
do đó nên ta có pt:

bể,

x2 – 63x + 486 = 0.
 Giải pt trên ta được: x1 = 54 (nhận); x2 = 9 (loại).
 Vậy: Vòi thứ nhất chảy riêng đầy bể trong 542h, vòi thứ hai chảy riêng đầy bể trong
27h.
Bài tập 14: (HK II: 2008 – 2009 _ Sở GD&ĐT Bến Tre):
Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình: Hai tỉnh A và B cách nhau 90 km. Hai
mô tô khởi hành đồng thời, xe thứ nhất từ A và xe thứ hai từ B đi ngược chiều nhau. Sau 1
giờ chúng gặp nhau. Tiếp tục đi, xe thứ hai tới A trước xe thứ nhất tới B là 27 phút. Tính vận
tốc mỗi xe.
HD:
 Gọi x, y là vận tốc của xe I và xe II (x, y > 0).
 Sau một giờ hai xe gặp nhau nên tổng quãng đường hai xe đi được bằng đoạn đường
AB, do đó ta có pt: x + y = 90 (1).

Học, học nữa, học mãi

 Thời gian xe I đi hết đoạn đướng AB:

(h).

 Thời gian xe II đi hết đoạn đướng AB:

(h).

 Vì xe II tới A trước xe I tới B là 27 phút =

h nên ta có pt:

–

=

(2)

 Từ (1) và (2) ta có hệ pt:
.
 Giải pt (b)ta được: x1 = 40(nhận) ; x2 = 450 (loại).
 Thế x = 40 vào (a)
y = 50 (nhận).
Vậy:
 Xe I có vận tốc: 40 km/h.
 Xe II có vận tốc: 50 km/h.
Bài tập 15: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình: Hai tỉnh A và B cách nhau 110
km. Hai mô tô khởi hành đồng thời, xe thứ nhất từ A và xe thứ hai từ B đi ngược chiều nhau.
Sau 2 giờ chúng gặp nhau. Tiếp tục đi, xe thứ hai tới A trước xe thứ nhất tới B là 44 phút.
Tính vận tốc mỗi xe.
HD:
 Gọi x, y là vận tốc của xe I và xe II (x, y > 0).
 Sau 2 giờ hai xe gặp nhau nê...